DEDUCCIÓN MATEMÁTICA DE LA PRESIÓN Y LA TEMPERATURA

Deducción matemática de la presión y la temperatura

La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura

Se investigaran las propiedades de un gas desde el punto de vista de la teoría cinética, que se basa en las leyes de la mecánica clásica. Pero aplicar las leyes de Newton a cada una del gran número de moléculas en un gas

Esta más allá de la capacidad de cualquier computadora actual. En lugar de ello se emplea un enfoque estadístico y se determinan los promedios de ciertas cantidades, y se considera que tales promedios corresponden a variables macroscópicas. Desde luego, se demandara que la descripción microscópica corresponda a las propiedades macroscópicas de los gases; de otro modo, la teoría seria de poco valor. Y algo más importante todavía; se llegara a una importante resolución entre la energía cinética promedio de las moléculas  en un gas y la temperatura absoluta.

Se hacen las siguientes suposiciones en torno a las moléculas en un gas. Los resultados que predicen corresponden a las características esenciales de los gases reales que están a bajas presiones y lejos del punto de licuefacción. En tales condiciones, los gases reales siguen la ley del gas ideal bastante cerca y, de hecho, el gas que a continuación se describe se considera como gas ideal. Las suposiciones que representan los postulados básicos de la teoría cinética son:

1 Existe un gran número de moléculas N, cada uno con masa m, que se mueven en direcciones aleatorias con diferente rapidez. Esta suposición esta en concordancia con la observación de que un gas llena su contenedor y, en el caso del aire en la tierra, solo la fuerza de gravedad evita que escape.

2 Las moléculas están en promedio bastante separadas unas de otras. Esto es, su separación promedio es mucho mayor que el diámetro  de cada molécula.

3 Se supone que las moléculas obedecen las leyes de la mecánica clásica y se supone que interactúan una con otra solo cuando chocan. Aunque las moléculas ejercen mutuamente fuerzas atractivas débiles entre colisiones, la energía cinética, y por el momento se le ignora.

4 Las colisiones con otra molécula o la pared del contenedor se supone perfectamente elásticas, como las colisiones de las bolas de billar perfectamente elásticas. Se supone que las colisiones  son de muy corta duración comparadas con el tiempo entre colisiones. Entonces es posible ignorar la energía potencial asociada con las colisiones en comparación con la energía cinética entre colisiones.

Inmediatamente se nota como esta visión cinética de un gas puede explicar la ley de Boyle . La presión ejercida sobre la pared de un contenedor de gas  se debe al bombardeo constante de las moléculas. Si el volumen se reduce, por ejemplo a la mitad, las moléculas estarán más cerca unas de otras y más del doble golpeara un área dada de la pared por segundo. En consecuencia, se espera que la presión sea doble en concordancia con la ley de Boyle.

Ahora se calculara cuantitativamente la presión que un gas ejerce sobre su contenedor con base a la teoría cinética. Imagine que las moléculas están dentro de un contenedor rectangular (en reposo) cuyos lados tienen área A y cuya longitud es L. La presión ejercida por el gas sobre las paredes de su contenedor, de acuerdo con el modelo, se debe a las colisiones de las moléculas con las paredes. Ahora enfoque la atención en la pared de área A, en el lado izquierdo del contenedor y examine lo que ocurre cuando una molécula golpea esta pared. Esta molécula ejerce una fuerza sobre la pared y, de acuerdo con la tercera ley de Newton, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta de vuelta sobre la molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula de acuerdo con la segunda ley de Newton es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de la molécula y cambia  de

Si se supone que la colisión es inelástica, solo cambia el componente x de la cantidad de movimiento de la molécula, y cambia de

( se mueve en dirección x negativa) a

 Por lo tanto, el cambio en la cantidad de movimiento de la molécula, que es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial es 

Para una colisión esta molécula realizara muchas colisiones con la pared, cada una separada por un tiempo  que es el tiempo que toma la molécula al viajar a través del contenedor y regresa de nuevo a una distancia ( componente x) igual a 2L. En consecuencia, 

ó

El tiempo  entre colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones por segundo es muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promediada sobre muchas colisiones) será igual al cambio de cantidad de movimiento durante una colisión dividida por el tiempo entre colisiones (segunda ley de newton)

 (Debido a una molécula)

Durante este pasaje de ida y vuelta a través del contenedor, la molécula puede colisionar con las tapas y con los lados del contenedor, pero esto no altera su componente x de cantidad de movimiento y, en consecuencia, no altera el resultado. También puede chocar con otras moléculas, lo que puede cambiar su . Sin embargo, cualquier pérdida (o ganancia) de cantidad de movimiento se adquiere mediante otras moléculas y, como eventualmente se sumara a todas las moléculas, este efecto será incluido. De modo que el resultado anterior no se altera,

La fuerza actual debida a una molécula es intermitente, pero, puesto que un gran número de moléculas golpean la pared por segundo, la fuerza es, en promedio, casi constante. Para calcular la fuerza debida a todas las moléculas en el contenedor, se tiene que sumar las aportaciones de cada una. En consecuencia, la fuerza neta sobre la pared es

Donde significa para la molécula 1 ( a cada molécula se le asigna arbitrariamente un numero) y la suma se extiende sobre el número total de moléculas N en el contenedor. El valor promedio del cuadro del componente x de la velocidad es 

Por tanto la fuerza se puede escribir como

Se sabe que el cuadrado de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes (teorema de Pitágoras). En consecuencia  para cualquier velocidad v . Al tomar los promedios se obtiene

Cuando las velocidades de las moléculas en el gas se suponen aleatorias, no existe preferencia por una dirección u otra por lo tanto

Al combinar  esta relación con lo anterior se obtiene

Esto se sustituye  en la ecuación para la fuerza neta F

La presión sobre la pared es entonces

Donde V= lA es el volumen del contenedor. Este es el resultado que se buscaba la presión ejercida por un gas sobre su contenedor expresada en términos de propiedades moleculares.

La ecuación

Se puede volver a escribir, en una forma más clara multiplicando ambos lados por V y reordenando el lado derecho 

La cantidad   es la energía cinética promedio  de las moléculas en el gas.

Si se compara la ecuación  con la ley del gas ideal) se ve que las dos concuerdan si  

Esta ecuación dice que:

La energía cinética de traslación promedio de las moléculas en movimiento aleatorio en un gas ideal es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas 

Cuanto más elevado sea la temperatura, de acuerdo con la teoría cinética, más rápido se mueven las moléculas en promedio. Esta relación es uno de los triunfos de la teoría cinética.

http://materiaymovimiento.blogspot.mx/2013/12/la-teoria-cinetica-y-la-interpretacion_5713.html