domingo, 10 de enero de 2016
MOVIMIENTO BROWNIANO
EL MOVIMIENTO BROWNIANO
El movimiento browniano es
el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas microscópicas que
se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua). Recibe
su nombre en honor al escocés Robert Brown, biólogo y botánico que descubrió este fenómeno
en 1827 y observó que pequeñas partículas de polen se desplazaban en
movimientos aleatorios sin razón aparente.
En 1785, el mismo fenómeno
había sido descrito por Jan
Ingenhousz sobre
partículas de carbón en alcohol.
El
movimiento estocástico de estas partículas se debe a que su superficie es
bombardeada incesantemente por las moléculas (átomos) del fluido sometidas a una
agitación térmica.
Este
bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre
variaciones estadísticas importantes. Así, la presión
ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo, y así se genera
el movimiento observado.
Tanto
la difusión como la ósmosis se basan en el movimiento browniano.
La
descripción matemática del fenómeno fue elaborada por Albert Einstein y constituye el primero de sus
artículos del que, en la obra de Einstein, se considera el Annus
Mirabilis ("año
maravilloso", en latín), 1905. La teoría de Einstein demostraba la teoría atómica, todavía en disputa a principios del
siglo XX, e iniciaba el campo de la física estadística.
Considere
un gran balón de 10 metros de diámetro. Imagine este balón en un estadio de
fútbol o cualquier otra área llena de gente. El balón es tan grande que
permanece por encima de la muchedumbre. Las personas aciertan a golpear el
balón en diferentes momentos y direcciones de manera completamente aleatoria.
Por ello, el balón no sigue una trayectoria. Ahora, considere una fuerza
ejercida durante un cierto tiempo; podemos imaginar 20 personas empujando para
la derecha y 21 para la izquierda y que cada persona está ejerciendo cantidades
de fuerza equivalentes. En este caso las fuerzas ejercidas por el lado
izquierdo y por el lado derecho no están equilibradas, favoreciendo al lado
izquierdo, por lo que el balón se moverá ligeramente hacia la izquierda. Esta
desproporción siempre existe, y es lo que causa el movimiento aleatorio. Si
observáramos la situación desde arriba, de modo que no pudiéramos ver a las
personas, veríamos el gran balón como un objeto animado por movimientos
erráticos.
Ahora
volvamos a la partícula de polen de Brown nadando aleatoriamente en el agua.
Una molécula de agua mide aproximadamente 1 nm, mientras una partícula de
polen tiene aproximadamente 1 µm de diámetro, 1000 veces mayor que una de
agua. Así pues, la partícula de polen puede ser considerada como un gran balón
empujado constantemente por las moléculas de agua. El movimiento browniano de
las partículas en un líquido se debe a las desproporcionalidades instantáneas
en las fuerzas ejercidas por las pequeñas moléculas líquidas sobre la
partícula.
Einstein relacionó conceptos ya existentes y con su genialidad pudo
encontrar una forma de demostrar la existencia de los átomos, resulta un tanto
complicado detallar todas las características de su razonamiento, pero podemos
resumir las conclusiones de la siguiente manera:
· * El calor o el aumento de la temperatura no es más que la vibración
de los átomos. A mayor temperatura, mayor movimiento atómico.
· *Los átomos golpean a las partículas por todos lados, y la suma de todas
estas fuerzas mueven a las partículas en una dirección o en otra.
· *También dedujo que si mediamos el recorrido promedio de una partícula,
en lugar de su recorrido real, podíamos obtener el numero de Avogadro (una
constante muy utilizada en química), para explicarlo de otra manera, no
importaba cuantas vueltas diera un coche para llegar a su destino sino la
distancia real en línea recta desde donde partió hasta su destino.
Su teoría no solo logró explicar el movimiento browniano sino
que sus observaciones han sido utilizadas para diferentes ramas de la ciencia,
basados en procesos estadísticos.
Imagen 1: Movimiento Browniano
Imagen 2: Ejemplo de la trayectoria del movimiento browniano
domingo, 3 de enero de 2016
DEDUCCIÓN MATEMÁTICA DE LA PRESIÓN Y LA TEMPERATURA
Deducción matemática de la presión y la temperatura
La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura
Se
investigaran las propiedades de un gas desde el punto de vista de la teoría
cinética, que se basa en las leyes de la mecánica clásica. Pero aplicar las
leyes de Newton a cada una del gran número de moléculas en un gas
Esta
más allá de la capacidad de cualquier computadora actual. En lugar de ello se
emplea un enfoque estadístico y se determinan los promedios de ciertas
cantidades, y se considera que tales promedios corresponden a variables
macroscópicas. Desde luego, se demandara que la descripción microscópica
corresponda a las propiedades macroscópicas de los gases; de otro modo, la
teoría seria de poco valor. Y algo más importante todavía; se llegara a una
importante resolución entre la energía cinética promedio de las moléculas
en un gas y la temperatura absoluta.
Se
hacen las siguientes suposiciones en torno a las moléculas en un gas. Los
resultados que predicen corresponden a las características esenciales de los
gases reales que están a bajas presiones y lejos del punto de licuefacción. En
tales condiciones, los gases reales siguen la ley del gas ideal bastante cerca y,
de hecho, el gas que a continuación se describe se considera como gas ideal.
Las suposiciones que representan los postulados
básicos de la teoría cinética son:
1
Existe un gran número de moléculas N, cada uno con masa m, que
se mueven en direcciones aleatorias con diferente rapidez. Esta suposición esta
en concordancia con la observación de que un gas llena su contenedor y, en el
caso del aire en la tierra, solo la fuerza de gravedad evita que escape.
2
Las moléculas están en promedio bastante separadas unas de otras. Esto es, su
separación promedio es mucho mayor que el diámetro de cada molécula.
3
Se supone que las moléculas obedecen las leyes de la mecánica clásica y se
supone que interactúan una con otra solo cuando chocan. Aunque las moléculas
ejercen mutuamente fuerzas atractivas débiles entre colisiones, la energía
cinética, y por el momento se le ignora.
4
Las colisiones con otra molécula o la pared del contenedor se supone
perfectamente elásticas, como las colisiones de las bolas de billar perfectamente
elásticas. Se supone que las colisiones son de muy corta duración
comparadas con el tiempo entre colisiones. Entonces es posible ignorar la
energía potencial asociada con las colisiones en comparación con la energía
cinética entre colisiones.
Inmediatamente
se nota como esta visión cinética de un gas puede explicar la ley de Boyle . La
presión ejercida sobre la pared de un contenedor de gas se debe al
bombardeo constante de las moléculas. Si el volumen se reduce, por ejemplo a la
mitad, las moléculas estarán más cerca unas de otras y más del doble golpeara
un área dada de la pared por segundo. En consecuencia, se espera que la presión
sea doble en concordancia con la ley de Boyle.
Ahora
se calculara cuantitativamente la presión que un gas ejerce sobre su contenedor
con base a la teoría cinética. Imagine que las moléculas están dentro de un
contenedor rectangular (en reposo) cuyos lados tienen área A y cuya longitud es
L. La presión ejercida por el gas sobre las paredes de su contenedor, de
acuerdo con el modelo, se debe a las colisiones de las moléculas con las
paredes. Ahora enfoque la atención en la pared de área A, en el lado izquierdo
del contenedor y examine lo que ocurre cuando una molécula golpea esta pared.
Esta molécula ejerce una fuerza sobre la pared y, de acuerdo con la tercera ley
de Newton, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta de vuelta sobre la
molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula. La magnitud de esta
fuerza sobre la molécula de acuerdo con la segunda ley de Newton es igual a la
tasa de cambio de la cantidad de movimiento de la molécula y cambia de
Si se supone que la colisión es
inelástica, solo cambia el componente x de la cantidad de movimiento de la
molécula, y cambia de
( se mueve en dirección x negativa)
a
Por lo tanto, el
cambio en la cantidad de movimiento de la molécula,
que
es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial
es
que
es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial
es 
Para una colisión esta molécula realizara muchas
colisiones con la pared, cada una separada por un tiempo 
que
es el tiempo que toma la molécula al viajar a través del
contenedor y regresa de nuevo a una distancia ( componente x) igual a
2L. En consecuencia,
que
es el tiempo que toma la molécula al viajar a través del
contenedor y regresa de nuevo a una distancia ( componente x) igual a
2L. En consecuencia, 
ó
El tiempo 
entre
colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones por segundo es
muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promediada sobre muchas
colisiones) será igual al cambio de cantidad de movimiento durante una colisión
dividida por el tiempo entre colisiones (segunda ley de newton)
entre
colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones por segundo es
muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promediada sobre muchas
colisiones) será igual al cambio de cantidad de movimiento durante una colisión
dividida por el tiempo entre colisiones (segunda ley de newton)
(Debido a una molécula)
Durante
este pasaje de ida y vuelta a través del contenedor, la molécula puede
colisionar con las tapas y con los lados del contenedor, pero esto no altera su
componente x de cantidad de movimiento y, en consecuencia, no altera el
resultado. También puede chocar con otras moléculas, lo que puede cambiar su
. Sin embargo, cualquier pérdida (o
ganancia) de cantidad de movimiento se adquiere mediante otras moléculas y,
como eventualmente se sumara a todas las moléculas, este efecto será incluido.
De modo que el resultado anterior no se altera,
.gif){kind=link}
La
fuerza actual debida a una molécula es intermitente, pero, puesto que un gran
número de moléculas golpean la pared por segundo, la fuerza es, en promedio,
casi constante. Para calcular la fuerza debida a todas las moléculas en el
contenedor, se tiene que sumar las aportaciones de cada una. En consecuencia,
la fuerza neta sobre la pared es
Donde
significa
para
la molécula 1 ( a cada molécula se le asigna arbitrariamente un
numero) y la suma se extiende sobre el número total de moléculas N en el
contenedor. El valor promedio del cuadro del componente x de la velocidad
es
significa para
la molécula 1 ( a cada molécula se le asigna arbitrariamente un
numero) y la suma se extiende sobre el número total de moléculas N en el
contenedor. El valor promedio del cuadro del componente x de la velocidad
es 
Por
tanto la fuerza se puede escribir como
Se sabe que el cuadrado de
cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes
(teorema de Pitágoras). En consecuencia 
para
cualquier velocidad v . Al tomar los promedios se obtiene
para
cualquier velocidad v . Al tomar los promedios se obtiene
Cuando las velocidades de
las moléculas en el gas se suponen aleatorias, no existe preferencia por una
dirección u otra por lo tanto
Al
combinar esta relación con lo anterior se obtiene
Esto
se sustituye en la ecuación para la fuerza neta F
La
presión sobre la pared es entonces
Donde
V= lA es el volumen del contenedor. Este es el resultado que se buscaba la
presión ejercida por un gas sobre su contenedor expresada en términos de
propiedades moleculares.
La
ecuación
Se
puede volver a escribir, en una forma más clara multiplicando ambos lados por V
y reordenando el lado derecho
La cantidad 
es la energía cinética
promedio 
de las moléculas en el gas.
es la energía cinética
promedio de las moléculas en el gas.
Si se compara la ecuación 
con 
la ley del gas ideal) se ve
que las dos concuerdan si 
con la ley del gas ideal) se ve
que las dos concuerdan si
Esta ecuación dice que:
La energía cinética de traslación
promedio de las moléculas en movimiento aleatorio en un gas ideal es directamente
proporcional a la temperatura absoluta del gas
Cuanto más elevado sea la
temperatura, de acuerdo con la teoría cinética, más rápido se mueven las
moléculas en promedio. Esta relación es uno de los triunfos de la teoría
cinética.
sábado, 5 de diciembre de 2015
POSTULADOS DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE LA MATERIA
POSTULADOS DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE LA MATERIA
Las leyes de los gases desarrolladas por Boyle, Charles y
Gay-Lussac, que establecieron las principales relaciones entre la presión, el
volumen y la temperatura de un gas, están basadas en observaciones empíricas y
describen el comportamiento de los gases en términos macroscópicos. Sin
embargo, existe otra opción para aproximarse al comportamiento de los gases: a
través de la teoría atómica que postula, básicamente, que todas las sustancias
están compuestas por un gran número de pequeñas partículas (moléculas o
átomos).
En principio, las propiedades observables de cualquier gas
(presión, volumen y temperatura) están directamente ligadas a las moléculas que
lo componen.
Los principios fundamentales de la teoría cinética son los
siguientes:
1.- Los gases están compuestos de moléculas en movimiento
aleatorio. Las molécula sufren colisiones aleatorias entre ellas y las paredes
del recipiente contenedor del gas.
2.- Las colisiones entre las moléculas del gas y entre ellas
y las paredes son elásticas.
3.- El volumen total ocupado por las moléculas del gas es
insignificante frente al volumen del contenedor. Esto es equivalente a afirmar
que las distancias entre partículas son relativamente grandes si las comparamos
con su tamaño.
4.- Las fuerzas de atracción entre las moléculas son
insignificantes.
5.- Los efectos cuánticos son insignificantes. Esto
significa que las distancias entre las partículas son mucho mayores que su
longitud de onda termal de De Broglie, y las moléculas pueden ser tratadas como
objetos clásicos.
6.- Adicionalmente, si el gas está en el interior de un
recipiente, las colisiones con sus paredes se asume que son instantáneas y
perfectamente elásticas.
Estos postulados describen el comportamiento de un gas
ideal. Los gases reales se aproximan a este comportamiento ideal en condiciones
de baja densidad y temperatura.
Según el modelo cinético molecular que se toma como válido
hoy en día, como decíamos, todo material que vemos está formado por partículas
muy pequeñas llamadas moléculas. Estas moléculas están en movimiento continuo y
se encuentran unidas por la fuerza de cohesión que existe entre moléculas de
una misma materia. Entre una y otra hay un espacio vacío, ya que están en
continuo movimiento. Cuando las moléculas están muy juntas y se mueven en una
posición fija, las fuerzas de cohesión son muy grandes. Es el estado sólido de
la materia. En cambio cuando están algo más separadas y la fuerza de cohesión
es menor, lo que les permite cambiar de posición libremente de forma
independiente, estamos en presencia de un líquido. En el estado gaseoso, las
moléculas están totalmente separadas unas de otras y se mueven libremente. Aquí
no existe fuerza de cohesión. (FIGURA 1.1)
La energía de la materia, su fuerza de cohesión y el
movimiento de las moléculas dependen de la temperatura. Es por eso que podemos
lograr pasar una materia del estado líquido al gaseoso y del sólido al líquido,
si aplicamos la cantidad de energía necesaria en forma de temperatura.
Esta teoría también describe el comportamiento y las
propiedades de los gases. Todos los gases están formados por moléculas que se
encuentran en movimiento continuo. Es un movimiento rápido, rectilíneo y
aleatorio. Las moléculas de los gases están muy separadas entre sí y no ejercen
fuerzas sobre otras moléculas, a excepción de cuando se produce una colisión.
1.1 En esta imagen de observa las moléculas de los
diferentes estados de la materia.
POSTULADOS DEL MODELO CINÉTICO MOLECULAR
POSTULADOS DEL MODELO CINÉTICO MOLECULAR
- Toda la materia está constituida por pequeñas partículas llamadas moléculas.Las propiedades químicas de las moléculas dependen de su composición, mientras que las propiedades físicas dependen de las fuerzas que las moléculas ejercen entre sí y de la distancia que las separa.
- Las moléculas se encuentran en continuo movimiento. El promedio de la energía cinética de las moléculas depende de la temperatura.
- Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton. En los choques entre las moléculas, su momento lineal y su energía cinética no cambian. Dichos choques son elásticos.
sábado, 21 de noviembre de 2015
FORMULA DE LA ENERGÍA CINÉTICA
FORMULA
Para obtener una definición cuantitativa de la energía cinética,
consideramos un objeto rígido de masa m que se mueve en una línea recta con una
rapidez inicial v1. Para acelerarlo uniformemente a una rapidez v2, sobre él se
ejerce una fuerza neta constante Fneta paralela a su movimiento sobre un
desplazamiento d. Entonces el trabajo neto efectuado sobre el objeto es
Wneto=Fneta(d). Se aplica la segunda ley de Newton, Fneta=ma, y se emplea la
ecuación 2-11c, que ahora se escribe como v2 al cuadrado= v1 al cuadrado+2ad,
con un v1 como la rapidez inicial y v2 como la rapidez final. Se resuelve para
a en la ecuación 2-11c,
a=v2 al cuadrado-v1 al cuadrado/2d
Luego, se sustituye esto en Fneta=ma y se determina el trabajo efectuado:
Wneto = Fnetad = mad =m(v2 al cuadrado-v1 al cuadrado/2d)d = m(v2 al
cuadrado-v1 al cuadrado/2)
o
Wneto = 1/2mv2 al cuadrado-1/2mv1 al cuadrado
La cantidad 1/2mv al cuadrado se define como la energía cinética (EC) de traslación
del objeto:
E c =
1 / 2 • m • v 2
|
E c =
Energía cinética
m = masa
v = velocidad
Si la fuerza actúa sobre el cuerpo en dirección opuesta a su movimiento, la
energía cinética del cuerpo será disminuida y la fuerza actuara como una
resistencia que el cuerpo vence en su movimiento.
Imagen 1. Demostración sobre cuando hay mas energía cinética.
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